Формулы

Базовые правила интегрирования

• \(\int a \, dx = ax + C\)
• \(\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a + 1} + C\) (при \(a \neq -1\))
• \(\int (f(x))^a f'(x)dx = \frac{(f(x))^{a+1}}{a + 1} + C\) (при \(a \neq -1\))
• \(\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C\) (при \(x \neq 0\))
• \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C\)

Интегралы от показательных функций

• \(\int e^{ax + b} dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C\) (при \(a \neq 0\))
• \(\int a^{\alpha x + \beta} dx = \frac{a^{\alpha x + \beta}}{\alpha \ln(a)} + C\) (при \(a > 0, a \neq 1, \alpha \neq 0\))

Тригонометрические интегралы

• \(\int \sin(ax + b)dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C\)
• \(\int \cos(ax + b)dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C\)
• \(\int \sec^2(ax + b)dx = \frac{1}{a} \tan(ax + b) + C\)
• \(\int \csc^2(ax + b)dx = -\frac{1}{a} \cot(ax + b) + C\)
• \(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\)
• \(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\)
• \(\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C\)
• \(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)
• \(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
• \(\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C\)

Гиперболические интегралы

• \(\int \sinh(ax + b)dx = \frac{1}{a} \cosh(ax + b) + C\)
• \(\int \cosh(ax + b)dx = \frac{1}{a} \sinh(ax + b) + C\)
• \(\int \operatorname{sech}^2(ax + b)dx = \frac{1}{a} \tanh(ax + b) + C\)
• \(\int \operatorname{csch}^2(ax + b)dx = -\frac{1}{a} \coth(ax + b) + C\)
• \(\int \tanh x \, dx = \ln(\cosh x) + C\)
• \(\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C\)

Интегралы, связанные с обратными тригонометрическими функциями

• \(\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C\) (при \(a \neq 0\))
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C\) (при \(a > 0\))
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C = \operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right) + C\)
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C = \operatorname{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right) + C\) (при \(x > a > 0\))
• \(\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C = \frac{1}{a} \operatorname{artanh}\left(\frac{x}{a}\right) + C\) (при \(|x| < a\))
• \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left(\frac{|x|}{a}\right) + C\) (при \(|x| > a > 0\))

Приёмы интегрирования

Интегрирование по частям

• \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

Замена переменной в определённом интеграле

• \(\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du\)

Формула Эрмита — Остроградского

• \(\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} dx = Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}\)

Основная теорема анализа

• Часть 1: \(\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)
• Часть 2: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\), где \(F'(x) = f(x)\)
• Правило Лейбница: \(\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)\)

Свойства определённого интеграла

• Линейность: \(\int_a^b [cf(x) + g(x)] \, dx = c\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx\)
• Аддитивность по отрезку: \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\)
• Смена пределов: \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
• Интеграл по точке: \(\int_a^a f(x) \, dx = 0\)
• Чётная функция: \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx\) (если \(f(-x) = f(x)\))
• Нечётная функция: \(\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0\) (если \(f(-x) = -f(x)\))
• Среднее значение: \(f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx\)

Приложения определённого интеграла

• Площадь между кривыми: \(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\) (где \(f(x) \ge g(x)\))
• Объём методом дисков: \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)
• Объём методом шайб: \(V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx\)
• Объём методом цилиндрических оболочек: \(V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx\) (вращение вокруг оси \(y\))
• Длина дуги: \(L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx\)
• Длина дуги (параметрически): \(L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt\)
• Площадь поверхности вращения: \(S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx\) (вокруг оси \(x\))

Несобственные интегралы

• Тип 1 (бесконечный промежуток): \(\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) \, dx\)
• Тип 2 (разрыв в точке \(b\)): \(\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \, dx\)
• Критерий \(p\)-интеграла (\(p\)-integral test): \(\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}\) сходится при \(p > 1\), расходится при \(p \le 1\)

Тригонометрические тождества

• Понижение степени: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
• Произведение → сумма:
  • \(\sin(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)]\)
  • \(\sin(mx)\sin(nx) = \frac{1}{2}[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)]\)
  • \(\cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)]\)
• Пифагоровы: \(\tan^2 x = \sec^2 x - 1\), \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\), \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\)
• Универсальная подстановка: \(t = \tan\frac{x}{2}\) даёт:
  • \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\)
  • \(\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
  • \(dx = \frac{2}{1 + t^2} dt\)

Гиперболические тождества

• Понижение степени: \(\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x - 1}{2}\), \(\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x + 1}{2}\)
• Пифагоровы: \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\), \(\tanh^2 x = 1 - \operatorname{sech}^2 x\)
• Определения: \(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\), \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\), \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\)

Рекуррентные (редукционные) формулы

• Степени синуса: \(\int \sin^n x \, dx = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x \cos x + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx\)
• Степени косинуса: \(\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx\)
• Степень × показательная: \(\int x^n e^x \, dx = x^n e^x - n \int x^{n-1} e^x \, dx\)

Функции нескольких переменных

Частные производные

• Частная производная по \(x\): \(f_x(x_0,y_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\)
• Цепное правило (1 параметр): \(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\)
• Цепное правило (2 параметра): \(\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\)
• Неявное дифференцирование (\(F(x,y)=0\)): \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)
• Неявное дифференцирование (\(F(x,y,z)=0\)): \(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}\), \(\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}\)
• Линеаризация: \(\mathcal{L}(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
• Уравнение Лапласа (гармоническая функция): \(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} = 0\)

Производная по направлению и градиент

• Градиент: \(\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^T\)
• Производная по направлению: \(D_\mathbf{u}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\) (где \(\|\mathbf{u}\| = 1\))
• Максимальная скорость роста: \(\|\nabla f\|\) в направлении \(\nabla f / \|\nabla f\|\)

Экстремумы

• Гессиан / дискриминант: \(D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\)
• Второй признак экстремума (second derivative test): локальный максимум при \(D>0,\,f_{xx}<0\); локальный минимум при \(D>0,\,f_{xx}>0\); седло при \(D<0\)

Множители Лагранжа

• Одно ограничение: \(\nabla f = \lambda\nabla g\) и \(g(\mathbf{x})=0\)
• Лагранжиан: \(\mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda) = f(\mathbf{x}) - \lambda g(\mathbf{x})\)
• Несколько ограничений: \(\nabla f = \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i\) и \(g_i(\mathbf{x})=0\)

Градиентный спуск

• Шаг итерации: \(x^{k+1} = x^k - \alpha\nabla f(x^k)\)

Формула Тейлора (две переменные)

• Квадратичное приближение в \((x_0,y_0)\): \(f \approx f_0 + hf_x + kf_y + \frac{1}{2}(h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{yy})\), где \(h=x-x_0\), \(k=y-y_0\)

Системы координат

Полярные и цилиндрические координаты

• Полярные ↔︎ декартовы (2D): \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\); \(r = \sqrt{x^2+y^2}\), \(\tan\theta = y/x\)
• Цилиндрические ↔︎ декартовы (3D): \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\); \(r = \sqrt{x^2+y^2}\)

Сферические координаты

• Сферические ↔︎ декартовы: \(x = \rho\sin\phi\cos\theta\), \(y = \rho\sin\phi\sin\theta\), \(z = \rho\cos\phi\); \(\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
• Сферические ↔︎ цилиндрические: \(r = \rho\sin\phi\), \(z = \rho\cos\phi\)

Геометрия в 3D

• Расстояние между точками: \(|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)
• Сфера: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2\)
• Прямая (параметрически): \(x=x_0+v_1t\), \(y=y_0+v_2t\), \(z=z_0+v_3t\)
• Плоскость: \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\), нормаль \(\mathbf{n}=(A,B,C)\)

Кратные интегралы

Определение и теорема Фубини

• Двойной интеграл (определение): \(\iint_R f\,dA = \lim_{\|P\|\to0}\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k)\Delta A_k\)
• Фубини (прямоугольник): \(\iint_R f\,dA = \int_c^d\int_a^b f\,dx\,dy = \int_a^b\int_c^d f\,dy\,dx\)
• Фубини (область «по \(x\)»): \(\iint_R f\,dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx\)
• Фубини (область «по \(y\)»): \(\iint_R f\,dA = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy\)
• Площадь: \(\text{Area}(R) = \iint_R dA\)
• Среднее значение: \(\text{aver}_R(f) = \dfrac{1}{\text{Area}(R)}\iint_R f\,dA\)

Замена переменных

• Якобиан (2D): \(J(u,v) = \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix}\partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\end{vmatrix}\)
• Замена переменных: \(\iint_R f\,dx\,dy = \iint_G f(g,h)\,|J|\,du\,dv\)
• Полярные координаты (якобиан \(J=r\)): \(\iint_R f\,dx\,dy = \iint_G f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\)
• Площадь в полярных: \(A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}[r(\theta)]^2\,d\theta\)
• Интеграл Гаусса: \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\)

Тройные интегралы

Определение и теорема Фубини

• Тройной интеграл: \(\iiint_D F\,dV = \lim_{\|P\|\to0}\sum_{k=1}^n F(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k\)
• Фубини (общий вид): \(\iiint_D F\,dV = \iint_R\!\left(\int_{f_1(x,y)}^{f_2(x,y)}F\,dz\right)dA\)
• Объём: \(\text{vol}(D) = \iiint_D dV\)
• Среднее значение: \(\text{aver}_D(F) = \dfrac{1}{\text{vol}(D)}\iiint_D F\,dV\)

Замена переменных

• Якобиан (3D): \(J(u,v,w) = \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\) (определитель \(3\times 3\))
• Замена переменных: \(\iiint_D F\,dx\,dy\,dz = \iiint_G H\,|J|\,du\,dv\,dw\)
• Цилиндрические координаты (якобиан \(J=r\)): \(\iiint_D F\,dV = \iiint_G H(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz\)
• Сферические координаты (якобиан \(J=\rho^2\sin\phi\)): \(\iiint_D F\,dV = \iiint_G H(\rho,\phi,\theta)\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)

Множители Лагранжа

• Условие Лагранжа (2D): \(\nabla f = \lambda\,\nabla g\), т.е. \(f_x = \lambda g_x\), \(f_y = \lambda g_y\), \(g(x,y) = 0\)
• Функция Лагранжа: \(L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda\,g(x,y)\)
• Условие Лагранжа (3D): \(f_x = \lambda g_x\), \(f_y = \lambda g_y\), \(f_z = \lambda g_z\), \(g(x,y,z) = 0\)

Формула Тейлора для функций нескольких переменных

• Многочлен Тейлора второй степени в \((a,b)\): \(T_2 = f(a,b) + (x-a)f_x + (y-b)f_y + \dfrac{1}{2}\left[(x-a)^2f_{xx} + 2(x-a)(y-b)f_{xy} + (y-b)^2f_{yy}\right]\), производные в \((a,b)\)
• Многочлен Маклорена (степень 2): \(T_2 = f(0,0) + xf_x + yf_y + \dfrac{1}{2}(x^2f_{xx}+2xyf_{xy}+y^2f_{yy})\), производные в \((0,0)\)
• Общий член степени \(n\): \(\dfrac{1}{n!}\left(h\dfrac{\partial}{\partial x}+k\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^n f\bigg|_{(a,b)}\), где \(h=x-a\), \(k=y-b\)